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為了研究上述過程得到的疲勞分散系數(shù)置信區(qū)間的可信性，先進行下面的已知壽命母體的驗證模擬計算。
假定對數(shù)壽命服從均值為4.5、標準差為0.2的正態(tài)分布，即
。隨機抽取容量為5、10和15的子樣各20組，與文獻[1]采用相同的可靠度和置信度要求，即可靠度
、置信度
，將按原始樣本直接估計得到的標準差估計值
、由式計算得到的疲勞分散系數(shù)估計值
、上述9.2節(jié)Bootstrap方法計算的母體標準差置信區(qū)間
以及疲勞分散系數(shù)置信區(qū)間
均列于表9 1、表9 2和表9 3中。
對于上述已知壽命母體的問題，由式可以得到其疲勞分散系數(shù)的真值為
。將此真值、表9 1~表9 3中的疲勞分散系數(shù)估計值
及疲勞分散系數(shù)置信區(qū)間
繪制成曲線，分別如圖9.1、圖9.2和圖9.3所示，以更加直觀的比較結合糾偏的百分位思想的Bootstrap方法計算的疲勞分散系數(shù)置信區(qū)間的可信性。
表9 1 20組容量為5的子樣的標準差及疲勞分散系數(shù)估計結果
|
序號 |
|
|
|
|
序號 |
|
|
|
|
|
1 |
0.1664 |
4.0 |
[0.1236, 0.2140] |
[2.1, 4.8] |
11 |
0.1930 |
4.9 |
[0.1194, 0.2961] |
[3.5, 10.8] |
|
2 |
0.1163 |
2.6 |
[0.0945, 0.1346] |
[1.9, 2.8] |
12 |
0.1105 |
2.5 |
[0.0840, 0.1522] |
[2.2, 3.9] |
|
3 |
0.2212 |
6.2 |
[0.0961, 0.2908] |
[1.9, 8.5] |
13 |
0.2215 |
6.2 |
[0.1192, 0.3058] |
[4.3, 18.5] |
|
4 |
0.1355 |
3.1 |
[0.0899, 0.2080] |
[1.8, 3.8] |
14 |
0.0650 |
1.7 |
[0.0213, 0.0887] |
[1.5, 2.5] |
|
5 |
0.2329 |
6.8 |
[0.1673, 0.3242] |
[2.7, 9.1] |
15 |
0.1457 |
3.3 |
[0.0947, 0.2239] |
[2.6, 5.9] |
|
6 |
0.2688 |
9.2 |
[0.2372, 0.3120] |
[4.7, 10.6] |
16 |
0.1429 |
3.3 |
[0.0491, 0.1903] |
[2.5, 7.1] |
|
7 |
0.1241 |
2.8 |
[0.0497, 0.1722] |
[1.5, 3.5] |
17 |
0.1562 |
3.6 |
[0.0480, 0.2042] |
[2.7, 8.9] |
|
8 |
0.1814 |
4.5 |
[0.1146, 0.2622] |
[2.2, 5.9] |
18 |
0.1658 |
3.9 |
[0.1014, 0.2203] |
[3.2, 7.6] |
|
9 |
0.2401 |
7.3 |
[0.1532, 0.3307] |
[2.5, 9.9] |
19 |
0.1029 |
2.3 |
[0.0887, 0.1182] |
[2.2, 3.3] |
|
10 |
0.2177 |
6.0 |
[0.1081, 0.2855] |
[2.2, 8.2] |
20 |
0.1577 |
3.7 |
[0.1366, 0.1896] |
[3.2, 6.6] |
備注：其中，Bootstrap方法的再抽樣次數(shù)
，以下相同。
圖9.1 各種不同方法計算的20組容量為5的子樣的疲勞分散系數(shù)
表9 2 20組容量為10的子樣的標準差及疲勞分散系數(shù)估計結果
|
序號 |
|
|
|
|
序號 |
|
|
|
|
|
1 |
0.2175 |
5.5 |
[0.1663, 0.2822] |
[3.7, 9.2] |
11 |
0.2065 |
5.1 |
[0.1611, 0.2524] |
[3.6, 7.3] |
|
2 |
0.1739 |
3.9 |
[0.0993, 0.2422] |
[2.2, 6.7] |
12 |
0.1581 |
3.5 |
[0.1277, 0.2017] |
[2.7, 4.9] |
|
3 |
0.1283 |
2.7 |
[0.0696, 0.1788] |
[1.7, 4.1] |
13 |
0.1759 |
4 |
[0.1239, 0.2395] |
[2.7, 6.6] |
|
4 |
0.1309 |
2.8 |
[0.1116, 0.1567] |
[2.4, 3.4] |
14 |
0.1515 |
3.3 |
[0.0775, 0.2145] |
[1.8, 5.4] |
|
5 |
0.1898 |
4.5 |
[0.1396, 0.2533] |
[3.0, 7.3] |
15 |
0.1298 |
2.8 |
[0.0583, 0.1894] |
[1.6, 4.4] |
|
6 |
0.1574 |
3.4 |
[0.0977, 0.1937] |
[2.2, 4.6] |
16 |
0.1223 |
2.6 |
[0.0670, 0.1716] |
[1.7, 3.9] |
|
7 |
0.2295 |
6.1 |
[0.1549, 0.2833] |
[3.4, 9.3] |
17 |
0.2354 |
6.4 |
[0.1733, 0.3127] |
[3.9, 11.7] |
|
8 |
0.1796 |
4.1 |
[0.1327, 0.2365] |
[2.8, 6.4] |
18 |
0.1137 |
2.4 |
[0.0888, 0.1478] |
[2.0, 3.2] |
|
9 |
0.1333 |
2.9 |
[0.1043, 0.1713] |
[2.3, 3.8] |
19 |
0.1994 |
4.8 |
[0.1619, 0.2462] |
[3.6, 6.9] |
|
10 |
0.2696 |
8.3 |
[0.1740, 0.3619] |
[3.9, 17.2] |
20 |
0.171 |
3.8 |
[0.1390, 0.2088] |
[3.0, 5.2] |
圖9.2 各種不同方法計算的20組容量為10的子樣的疲勞分散系數(shù)
表9 3 20組容量為15的子樣的標準差及疲勞分散系數(shù)估計結果
|
序號 |
|
|
|
|
序號 |
|
|
|
|
|
1 |
0.1902 |
4.3 |
[0.1534, 0.2285] |
[3.3, 5.8] |
11 |
0.1829 |
4.1 |
[0.1031, 0.2634] |
[2.2, 7.6] |
|
2 |
0.1738 |
3.8 |
[0.1324, 0.2245] |
[2.8, 5.6] |
12 |
0.2386 |
6.3 |
[0.1649, 0.3102] |
[3.6, 10.9] |
|
3 |
0.1369 |
2.9 |
[0.0746, 0.1972] |
[1.8, 4.6] |
13 |
0.1654 |
3.6 |
[0.1364, 0.2032] |
[2.9, 4.8] |
|
4 |
0.138 |
2.9 |
[0.1012, 0.1866] |
[2.2, 4.2] |
14 |
0.2029 |
4.8 |
[0.1640, 0.2458] |
[3.5, 6.6] |
|
5 |
0.2007 |
4.7 |
[0.1513, 0.2626] |
[3.2, 7.5] |
15 |
0.1485 |
3.1 |
[0.1178, 0.1874] |
[2.5, 4.2] |
|
6 |
0.1644 |
3.5 |
[0.1301, 0.2076] |
[2.7, 4.9] |
16 |
0.1774 |
3.9 |
[0.1277, 0.2405] |
[2.7, 6.4] |
|
7 |
0.2029 |
4.8 |
[0.1661, 0.2510] |
[3.6, 6.9] |
17 |
0.2209 |
5.5 |
[0.1892, 0.2642] |
[4.3, 7.6] |
|
8 |
0.2085 |
5 |
[0.1574, 0.2653] |
[3.4, 7.7] |
18 |
0.1831 |
4.1 |
[0.0953, 0.2702] |
[2.1, 8.0] |
|
9 |
0.1903 |
4.3 |
[0.1525, 0.2393] |
[3.2, 6.3] |
19 |
0.1872 |
4.2 |
[0.1444, 0.2360] |
[3.0, 6.2] |
|
10 |
0.1699 |
3.7 |
[0.1095, 0.2344] |
[2.3, 6.1] |
20 |
0.1662 |
3.6 |
[0.1239, 0.2135] |
[2.6, 5.2] |
圖9.3 各種不同方法計算的20組容量為15的子樣的疲勞分散系數(shù)
由圖9.1~圖9.3分別所示的20組容量為5、10、15的疲勞壽命數(shù)據(jù)的分散系數(shù)曲線可以看出，由本文方法計算得到的置信度為90%的疲勞分散系數(shù)的置信區(qū)間絕大部分均是包含分散系數(shù)真值4.0的。而且隨著樣本容量的增加，疲勞分散系數(shù)置信區(qū)間包含真值的幾率越來越大。
另一方面，從工程意義上講，疲勞分散系數(shù)越大，得到的飛機疲勞安全壽命越安全。因此在一定的誤差范圍內，疲勞分散系數(shù)的估計值稍微大些比較好。由圖9.1~圖9.3可以看出，采用置信上限來近似疲勞分散系數(shù)時，在樣本容量為5、10、15的情況下，置信上限小于真值的組數(shù)分別僅為6、3、0，而通過原始樣本對標準差進行點估計得到的疲勞分散系數(shù)小于真值的組數(shù)分別為11、11、9，由此得到的飛機疲勞安全壽命偏危險的組數(shù)明顯要多于本文方法。從這個意義上講，針對疲勞壽命小子樣統(tǒng)計分析問題，比之于通過對試驗數(shù)據(jù)進行點估計而得到的疲勞分散系數(shù)，采用本文方法得到的疲勞分散系數(shù)的置信上限是更為安全的結果。
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