母體標(biāo)準(zhǔn)差置信區(qū)間估計(jì)的Bootstrap方法

假定是一組獨(dú)立同分布樣本的未知總體參數(shù)。Bootstrap方法的基本思想是利用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)代替總體分布函數(shù)，從經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)中隨機(jī)抽取容量為的樣本來(lái)估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，這就等同于對(duì)原始樣本作有放回再抽樣。有放回再抽樣獲取的新樣本稱為Bootstrap樣本，由其計(jì)算得到的統(tǒng)計(jì)量稱為Bootstrap統(tǒng)計(jì)量[7-9]。重復(fù)再抽樣次，可以獲得個(gè)Bootstrap統(tǒng)計(jì)量。個(gè)Bootstrap估計(jì)量為我們提供了的抽樣分布估計(jì)，目前有很多正式的結(jié)論可以證明Bootstrap方法精確的逼近了估計(jì)量的真實(shí)抽樣分布，這也就使得Bootstrap方法在對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行置信區(qū)間分析時(shí)具有顯著的效率和精確性。

百分位法利用經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)估計(jì)置信區(qū)間，將上述Bootstrap方法應(yīng)用到參數(shù)的區(qū)間估計(jì)上[10,11]。即把個(gè)Bootstrap統(tǒng)計(jì)量由小到大排序，包含的區(qū)間既是的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間，其中為的經(jīng)驗(yàn)分位數(shù)。

百分位法在概率收斂性上存在一些缺點(diǎn)，可以通過(guò)糾偏過(guò)程減少偏差。即如果出現(xiàn)大部分Bootstrap估計(jì)量小于，也就意味著Bootstrap模擬“低估”了，為了糾正這一偏差，置信邊界必須向“大值”移動(dòng)。這個(gè)過(guò)程由糾偏量完成[8,10,11]。

其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)，是示性函數(shù)，其定義如下

考慮糾偏后，可以構(gòu)造糾偏百分位法置信區(qū)間，其中、，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)。

本文采用上述的Bootstrap方法模擬母體標(biāo)準(zhǔn)差的抽樣分布，然后結(jié)合糾偏百分位法對(duì)進(jìn)行置信區(qū)間分析。得到母體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間后，利用式即可求得疲勞分散系數(shù)具有一定可靠度和置信度要求的置信區(qū)間。